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Butterworth Filter Formel, Gleichungen und Berechnungen

Butterworth Filter Formel, Gleichungen und Berechnungen


Der Butterworth-Filter ist eine beliebte Filterform, die eine maximal flache In-Band-Reaktion bietet. Während die häufigste Methode zur Berechnung der Werte heutzutage die Verwendung einer App oder einer anderen Computersoftware ist, ist es dennoch möglich, sie mit traditionelleren Methoden zu berechnen. Es gibt Formeln oder Gleichungen, die für diese Berechnungen verwendet werden können, und auf diese Weise ist es möglich, die Kompromisse und Funktionsweisen leichter zu verstehen.

Mit den Gleichungen für das Butterworth-Filter ist es relativ einfach, den Frequenzgang zu berechnen und aufzuzeichnen sowie die erforderlichen Werte zu ermitteln.

Frequenzgang des Butterworth-Filters

Da das Butterworth-Filter maximal flach ist, bedeutet dies, dass es so ausgelegt ist, dass bei einer Frequenz von Null die ersten 2n-1-Ableitungen für die Leistungsfunktion in Bezug auf die Frequenz Null sind.

Somit ist es möglich, die Formel für den Frequenzgang des Butterworth-Filters abzuleiten:

|V.ausV.im|2=11 +(ffc)2n

Wo:
f = Häufigkeit, mit der die Berechnung durchgeführt wird
fc = die Grenzfrequenz, d. h. halbe Leistung oder -3 dB Frequenz
Vin = Eingangsspannung
Vout = Ausgangsspannung
n = Anzahl der Elemente im Filter

Die Gleichung kann neu geschrieben werden, um das üblichere Format zu erhalten. Hier ist H (jω) die Übertragungsfunktion und es wird angenommen, dass das Filter keine Verstärkung hat, d. H. Es ist kein aktives Filter.

|H.(jω)|=11+(ωωc)2n

Wo:
H (jω) = Übertragungsfunktion bei der Winkelfrequenz ω
ω = Winkelfrequenz und ist gleich 2πf
ωc = Grenzfrequenz, ausgedrückt als Winkelwert und gleich 2πfc

Hinweis: Es spielt keine Rolle, ob ω / ωo oder f / fc wird verwendet, da es sich lediglich um ein Verhältnis der beiden Zahlen handelt. Wenn ω, das 2πf ist, verwendet wird, hebt sich der Faktor 2π auf, da er sich sowohl oben als auch unten in der Fraktion befindet.

Wenn Sie den Verlust des Butterworth-Filters an einem beliebigen Punkt ausdrücken möchten, können Sie die folgende Butterworth-Formel verwenden. Dies ergibt die Dämpfung in Dezibel an jedem Punkt.

EINd =10Log10(1+(ωωc)2n)

Beispiel für die Berechnung eines Butterworth-Filters

Um ein Beispiel für die Reaktion der Butterworth-Filterberechnung zu geben, nehmen Sie ein Beispiel für die unten angegebene Schaltung. Wie bei diesen Berechnungen normal, werden normalisierte Werte verwendet, bei denen die Grenzfrequenz 1 Radian beträgt, d. H. 1 / 2Π Hz, die Impedanz 1 Ω beträgt und die Werte in Farads und Henries angegeben sind.

Im folgenden Beispiel werden einige der einfachsten Werte mit einer Impedanz von 1 Ω und Werte für den Kondensator von 2 Farad und die Serieninduktoren von jeweils 1 Henry verwendet.


Unter Verwendung der obigen Formel und einer Kenntnis des Grenzwerts von 0,159 Hz ist es möglich, Antwortwerte bei verschiedenen Frequenzen zu berechnen:


Reaktion des Butterworth-Filters
Frequenz (Hz)Relative Ausgangsleistung
0.001.00
0.070.99
0.0950.95
0.1590.50
0.2230.117
0.2540.056
0.3180.015

Butterworth Filterstangen

Die Pole eines Butterworth-Tiefpassfilters mit der Grenzfrequenz ωc sind gleichmäßig um den Umfang eines Halbkreises mit dem Radius ωc verteilt, der auf dem Ursprung der s-Ebene zentriert ist.

Die Pole eines zweipoligen Filters liegen bei ± 45 °. Die eines vierpoligen Filters liegen bei ± 22,5 ° und ± 67,5 °. In ähnlicher Weise können auch andere Fälle abgeleitet werden.

Die nachstehende Tabelle liefert jedoch die Pole der Butterworth-Tiefpassfilter mit ein bis acht Polen und einer Grenzfrequenz von 1 rad / s, d. H. Für ein normalisiertes Filter.


Pole der normalisierten Butterworth-Polynome
AuftragStangen
1−1 ± j 0
2−0.707 ± j 0.707
3−1 ± j 0, −0.5 ± j 0.866
4−0.924 ± j 0.383, −0.383 ± j 0.924
5−1 ± j 0, −0.809 ± j 0.588, −0.309 ± j 0.951
6−0.966 ± j 0.259, −0.707 ± j 0.707, −0.259 ± j 0.966
7−1 ± j 0, −0.901 ± j 0.434, −0.624 ± j 0.782, −0.222 ± j 0.975
8−0.981 ± j 0.195, −0.832 ± j 0.556, −0.556 ± j 0.832, −0.195 ± j 0.981

Diese Grundgleichungen bilden die Grundlage für die Entwicklung eines einfachen Butterworth-LC-Filters, der für HF- und andere Anwendungen geeignet ist.

Schau das Video: FIR Filter Berechnung (November 2020).